对称高斯消元法的快速求解及其应用(2) -电力系统自动化杂志社投稿

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对称高斯消元法的快速求解及其应用(2)

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四角规则用于按列消元方式时，只要计算第i行对角元以右元素所在列和第i列对角元以下元素所在行的交互点上的元素即可。当四角规则用于按行消元方式时，由于需根据多行和多列元素的交互点进行计算，其过程较为复杂以致应用不便。而式(3)则由于相应的计算元素是一次性完成计算，很难建立图1中相关元素的位置，也无法应用四角规则。

2 用四角规则的2种对称高斯法的计算

2．1 对称高斯法1的计算

在对称矩阵中，可以发现式(1)中所有上三角的非对角元素和对应的下三角的非对角元素在任何情况下均相等，如与与。因此在消元计算中可仅计算对角元素和上三角的非对角元素，而下三角的非对角元素可通过赋值直接得到，从而省去大量非对角元素的计算以及相应的除法计算。该算法为对称高斯法1。

例1 对图2的5阶增广阵进行消元计算，比较高斯法和对称高斯法1的不同。

2．1．1 传统高斯法的消元过程

对5阶增广阵高斯消元后可得图3。其中，对第1列元素消元，需计算的元素个数为4×5=20;第2列为3×4=12;第3列为2×3=6;第4列为1×2=2，每次计算如图3中虚矩形框所示。因此高斯法共需计算40个元素。

图2 5阶增广阵Fig．2 Augmentedmatrix in 5 orders

图3 高斯法消元后的5阶增广阵Fig．3 Augmented matrix after Gauss eliminating

2．1．2 对称高斯法1的消元过程

1)对第1列元素消元，仅计算图4中虚梯形框的14个元素。

图4 对增广阵第1列消元Fig．4 Matrix after Gauss eliminating for the 1st column

2)将第2行对角元以右的3个元素赋值给第2列对角元以下的3个元素，如图5中虚矩形框;再对第2列消元，仅计算图5中虚梯形框的9个元素。

图5 给第2列赋值，对第2列消元Fig．5 Matrix after assigning to the 2nd column and Gauss eliminating

3)将第3行的2个元素赋值给第3列的2个元素，如图6中虚矩形框;再对第3列消元，仅计算图6中虚梯形框的5个元素。

图6 给第3列赋值，对第3列消元Fig．6 Matrix after assigning to the 3rd column and Gauss eliminating

4)将第4行的1个元素赋值给第4列的1个元素，如图7中虚矩形框;再对第4列消元，仅计算图7中虚矩形框的2个元素。

图7 给第4列赋值，对第4列消元Fig．7 Matrix after assigning to the 4th column and Gauss eliminating

图7的计算结果与图3高斯法的完全相同。但用对称高斯法1仅计算30个元素，赋值6个元素。每赋值1个元素仅需1个元素，而每计算1个元素需4个元素，还有1次除法，而除法计算在计算机中需要更多的时间。因此对称高斯法1与高斯法相比能大大提高计算速度，且简单直观，且同样可用四角规则直接完成消元计算。

2．2 对称高斯法2的计算

由于对称矩阵在高斯消元过程中上下三角的非对角元素完全对称，因此可省去对称高斯法1中上三角元素对下三角元素的赋值，直接从上三角对应元素中获取所需的下三角元素，则计算速度还可提高。该算法为对称高斯法2。用对称高斯法2对B阵进行n－1次不含规格化的消元，且仅计算对角元及上三角的非对角元素，所得的增广阵B(n－1)如式(4)所示。

式(4)与式(1)不同，其下三角元素未计算，而对角元和上三角的非对角元素的计算式为素换成了相应的上三角元素，循环范围j=k+1，k+2，…，n ，n+1 改成 j=i，i+1，…，n ，n+1。式(3)也可得到与对称高斯法2对应的计算公式，但没有实际应用意义。

2．3 对称高斯法2消元计算的三角规则

由于对称高斯法2中的消元元素不存在，因此对式(4)不适合用四角规则计算相应的元素，但可引入三角规则简化对式(4)的计算。同样在按列消元的计算过程中，对第k列元素进行消元前，对称高斯法2参加计算的相关元素在简化矩阵中的位置如图8所示。

图8 对称高斯法2中参加计算的元素在矩阵中的位置Fig．8 Position of the elements calculated in a matrix for symmetrical algorithm 2

式(5)与式(2)的不同是:原下三角的消元元

此时对角元素、交叉元素和计算元素的新值与原值均与图1一样，只是消元元素(带虚线框)的位置上并没有该元素，而被代之以对应的、与交叉元素同行、在其以左或以右的元素(带虚线框)。

同样根据图8和式(5)，可写出对称高斯法2计算元素新值的计算规律为:计算元素的“新值”等于其“原值”减去“与消元元素对应的交叉元素”乘以“交叉元素”再除以对角元素。该计算规律写出的计算式与式(5)完全相同，因此可直接根据该计算规律完成后续元素的计算，而无需依赖式(5)。同样将该计算规律中参加计算的4个元素简单地用A、B、C、D表示，可以发现这4个元素正好在三角形的三个角上，只是A、B、C 3个元素在同一行，因此称为三角规则。用三角规则对对称高斯法2进行消元计算，也只要构想4个元素的位置，而无需考虑计算公式的结构、相关变量以及上下标等，计算过程同样非常简单。

文章来源：《电力系统自动化》网址: http://www.dlxtzdhzz.cn/qikandaodu/2021/0419/887.html