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对称高斯消元法的快速求解及其应用

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不含规格化的高斯消元法(高斯法)［1－3］和含规格化的高斯法［4－6］都是求解线性方程组最常用、最基本的方法。然而无论用哪种高斯法进行消元计算，编写计算程序时往往过分依赖消元计算公式，忽略了消元计算过程本身的内在规律［6－7］，从而影响对计算原理的理解，增加了程序编写的难度。其次，有的文献给出2种高斯法的消元计算公式［8］，虽然计算结果完全相同，但其中1种计算公式有可能导致加大对计算过程理解的难度，从而进一步增加了程序编写的难度。此外，由于规格化计算可适当提高计算效率［9－10］，使得含规格化的高斯法得到更广泛的应用;而不含规格化的高斯法在求解对称线性方程组的计算过程中，由于其非对角元素始终对称的重要特点被忽略，因此不含规格化高斯法的应用受到一定限制［8，11］。所以，如何利用对称线性方程组的消元计算过程中非对角元素对称的重要特点，也是提高高斯法计算效率和计算速度的重要途径之一。

针对上述问题，本文首先根据高斯法消元过程中元素的计算公式，归纳出元素计算的规律，再根据计算过程中相关元素的几何位置提出并应用高斯法中的四角规则［12－13］。因而在消元过程中可直接用四角规则完成消元计算，而无需依赖计算公式，从而大大方便对消元计算过程的理解和编程。再根据不含规格化消元过程中对称矩阵中非对角元素始终对称的特点，提出2种对称高斯消元法(对称高斯法)。2种对称高斯法都仅计算对角元及以上的元素，其中一种方法是在某行对角元以右的元素完成计算后，直接赋值给该对角元以下的对应元素;而另一种方法则不对下三角元素赋值，前代和回代过程的计算都用上三角元素。对2种对称高斯法分别应用四角规则或三角规则，同样可无需依赖计算公式直接完成消元计算，特别有利于对消元计算过程的理解和编程。与不含规格化的高斯法相比，2种对称高斯法均可减少50%非对角元素的计算以及相应的除法计算，使计算速度得到大大提高。分别用高斯法和2种对称高斯法对IEEE－30、－57、－118节点系统的复数节点导纳矩阵Y求取对应的复数节点阻抗矩阵Z［6－8］，其回代过程均利用Z阵元素的对称性和E阵元素结构的特殊性等技巧［10］。计算结果表明，2种对称高斯法的“前代”过程及其“前代+回代”过程的计算速度均可提高约20%以上。

1 传统高斯法消元计算的改进

1．1 传统高斯法的计算

n阶线性方程组的矩阵形式为AX=F，其中A为系数矩阵，X为未知数列矩阵，F为常数项列矩阵。令F阵元素fi=ai，n+1，与A阵元素共同构成n×(n+1)阶的增广矩阵B。对B阵进行n－1次不含规格化的消元运算后，可得新的增广阵 B(n－1)如式(1)。

式(1)中各元素的计算式可用式(2)或式(3)完成［10］。

式(2)或式(3)［10］均可用于高斯消元过程中相应的计算。但式(2)是对已经部分完成消元计算的元素继续分步进行消元计算，而式(3)是对元素的初值直接进行消元计算，其元素的消元计算均是一次性完成。尽管对式(2)消元计算过程的理解和编程有一定难度，但式(3)的计算方式更不利于对消元计算过程的理解和编程，还可能导致计算过程的复杂化。

1．2 用四角规则的传统高斯法消元计算

为使式(2)的消元计算过程形象化并简单化，可在按列消元的计算过程中引入并应用四角规则［16］。根据式(2)，对第 k列元素进行消元前，高斯法中参加计算的相关元素在简化矩阵中的位置始终如图1所示，各元素定义如下。

图1 高斯法参加计算的元素在矩阵中的位置Fig．1 Position of the elements calculated in a matrix

图1 中:a(kkk－1)为对角元素A(已完成计算的元素—— 终值，作为参考元素);为交叉元素B(终值)，位于对角元素同行以右;为消元元素C(终值)，位于对角元素同列以下;为计算元素的新值D新和原值D原(不一定完成了计算的元素，包括其新值)，位于消元元素所在行与交叉元素所在列的交互点上。

此时根据图1和式(2)可定义高斯法中计算元素新值的计算规律为:计算元素的“新值”等于其“原值”减去“消元元素”乘以“交叉元素”再除以“对角元素”。用该计算规律可根据前面消元过程中所得到的、已完成了计算的对角元素、交叉元素和消元元素继续分步完成对后续计算元素的计算，而无需考虑式(2)的结构、相关变量及其上下标等，比用式(2)简单地多。

如果将该计算规律中参加计算的4个元素简单地用A、B、C、D表示，则任一计算元素的计算式均为:D新=D原－(B×C)/A。根据图1可以看出，由于A、B、C、D 4个元素正好在矩形的4个角上，因此称为四角规则。因此用四角规则进行消元计算，只要构想4个元素的位置，就很容易直接写出其计算元素的计算式。这样就将对式(2)的消元计算完全转化成简单的、对元素几何位置的处理。不但无需考虑计算公式的结构、相关变量、及其上下标等，也无需记住计算元素新值的计算规律，计算过程更为简单。

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