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对称三角分解法及其应用

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摘要：

LR、LDU、CU三角分解法［1-6，15-17］与因子表法的计算原理类似，均用于常系数线性方程AX=F中的求解。由于因子表法和各种分解法计算过程不同，其计算效率和计算速度有所不同，然而因子表法和各种分解法的计算过程或计算方式均存在不合理情况。如因子表法中元素计算一般采用按行消元、逐行规格化［1-3］，而各种分解法是按从左上角到右下角计算因子阵元素或以按行方式从左到右计算各行元素［1-4］，这些计算方式均无法应用对称矩阵元素本身的特点；因子表法中是形成因子表后再将对角元素取倒，可提高回代过程计算速度，但对其前代计

算速度没有帮助，各种分解法中未考虑对角元素取倒，前代和回代计算速度均受影响［14-15］；因子表法中所有元素存放在同一个数组，便于应用元素之间关系，而各种分解法中由于各因子阵元素分别存放在不同数组中，根本无法利用和展示元素间的对应关系；因子表法无中间矩阵，可直接完成前代和回代计算，各种分解法需通过中间矩阵W或W和H完成前代和回代计算；因子表法和各种分解法均需依赖消元计算公式或元素计算公式完成计算等。上述问题均不利于计算过程优化和程序编写，更不利于计算速度提高。

CU分解法比LR、LDU分解法的文献介绍和应用均较少［1-6］。但实际上，CU分解法的计算过程类似于按行消元、逐行规格化的高斯消元法［4］，且其计算速度与LR、LDU分解法相比有明显优势［16］。然而，由于CU分解法中C、U阵元素分开存放、元素计算需依靠计算公式、没有考虑对称矩阵的特点及对角元取倒，其计算效率远未达到最佳。文献［17］的快速CU分解法虽计算速度有一定程度提高，但仍然远未达到其应有的计算效率，而文献［18］只是扩展了CU分解法的应用范围，对计算速度提高无帮助。

本文针对CU分解法中存在的问题及其计算过程的特点，提出对称CU分解法，其中包括：用可展示各元素之间关系的CU合成阵同时存放c、u元素；用四角规则按行分步计算u元素而无需应用元素计算公式，直接根据对称性按列赋值得到c元素而无需计算；对对角元素提前取倒以减少除法计算等。将因子表法、CU分解法、对称CU分解法用于计算极坐标PQ分解法潮流，并比较其计算速度。

1 CU分解法及其存在的问题

CU分解法将系数矩阵A分解为下三角矩阵C和单位上三角矩阵U的乘积，即A=CU。需三个数组分别存放A、C、U阵元素，元素之间关系不清。其元素计算顺序为c元素按行、u元素按列或均按行方式根据式（1）～（2）每次计算一个完整的c或u元素。

式（1）～式（2）表明，c、u元素计算过程复杂，不适合编程，且无论采用c元素按行、u元素按列或均按行方式都无法实现c、u元素对称计算。此外，式（2）中用cii元素做除数，势必影响C、U因子阵前代过程计算速度。

对方程AX=F进行CU分解时需将对原方程的求解转换分别对CW=F和UX=W二个方程求解，W阵前代和X阵回代过程分别展开如式（3）～（4）。

式（3）中求取W阵也始终用cii元素做除数，同样影响形成C、U因子阵后对后续F阵前代过程的计算速度。

2 合成阵及元素的拆分和分步计算

要解决CU分解法中上述问题，首先要建立可清晰地体现c、u元素关系的CU合成阵。以四阶A44阵为例，由于A44=C44U44，根据式（1）～（2）可将C44、U44阵与A44阵元素关系均在CU合成阵中展示如式（5）。如式（5）。由于C阵中对角元素为cii，U阵中对角元素为1，而式（5）人为地将C、U阵合在一起，没有U阵对角元素，因此CU合成阵与A阵之间并不满足数学关系，但并不影响前代和回代计算。此外CU合成阵可直接在A阵数组中形成，而无需再占用其它数组。

根据式（5）可看出以下几点：①计算c、u元素可看成是分步对其所在行左侧的c元素进行类似含规格化的按列消元，计算完成后u元素均要除以所在行的对角元素cii。②对称矩阵中c、u元素是按cii比例对称。③假设分步计算中未完成计算的元素为计算第i行uij元素的前一步元素，其除以对角元素cii后得uij元素，此时的元素就是与其对应的cji元素。因此可在得到元素后，将其直接赋值给对应的cji元素，从而省去所有下三角cji元素的计算。④对cji元素赋值后，将元素除以对角元素cii可得uij元素。因此利用式（5）不但可拆分、并分步计算c、u元素，还可利用c、u元素的比例对称关系而大大简化计算，从而提高计算速度。

由于计算uij元素的最后一步均为用元素除以所在行的对角元素cii，导致程序中大量除法运算而影响分解速度。因此可在最后计算第i行的uij元素前先将cii元素取倒，再将元素赋值给对应的cji元素，然后用（1／cii）乘以元素得到uij元素，从而几乎可免去除法运算。

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