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对称三角分解法及其应用(2)

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因此可将式（5）的合成阵写成式（6）。与因子表法中形成因子表后再将对角元取倒、仅省略其回代计算过程的除法运算方式相比，本方法可几乎完全省略前代和回代计算过程的全部除法运算，而式（2）～（3）的计算方式很难消除除法运算。

将式（1）～（2）的计算式拆分为式（7）～（10）。

此时式（7）～（10）已经将式（1）～（2）每次计算一个完整的c或u元素的方式拆分成仅对对角元素和上三角元素cii元素的分步计算，计算出元素直接赋值得到cji元素，再对元素除以所在行的对角元素cii得到uij元素。根据式（7）～（10）中c、u元素的拆分，和式（6）元素的分步计算，不但可实现c、u元素的对称计算，还可省略大量的除法运算，式（3）中的除法运算也可免去。

3 四角规则及对称CU分解法

3.1 CU分解法中应用四角规则

先不考虑矩阵对称性进行传统CU分解。假设c、u元素分步计算过程为：┄c?、u′?→c″、u″→c′、u′→c、u，当对n阶对称的CU合成阵完成了其第k行以上和第k列及以左c、u元素的分步计算，将继续对第k行及以下和第k列以右的c、u元素继续分步计算时所对应的CU合成阵的简化矩阵如式（11）。为简化分析，同时给出传统法中式（11）和对称法中式（12）相关元素定义如下：

cii（1／cii）：对角元素（对称法取倒所得）；

u′i，i+1、u′ip、u′in（ui，i+1、uip、uin）：交叉元素（传统法除以对角元素所得，对称法乘以对角元素倒数所得），对角元素同行以右；

ci+1，i、cpi、cni（ai+1，i、api、ani）：消元元素（对称法赋值前），对角元同列以下；

c?i+1，i+1～u?i+1，n、c?p，i+1～u?pn、c?n，i+1～u?nn（c″i+1，i+1～u″i+1，n、c″p，i+1～u″pn、c″n，i+1～u″nn）：计算元素的前值或新值（中间值或终值，仅给出传统法的状态），消元元素所在行与交叉元素ui，i+1、uip、uin所在列的交互点。

如将式（1）～（2）改写成分步计算，则其文字表述为：“以对角元素为参考元素，计算元素的新值c″ij（u″ij）=其前值c?ij（u?ij）-消元元素c＊i×交叉元素ui＊”。

因此在计算计算元素的新值前，先将所有交叉元素u′ij元素除以其所在行对角元素cii得uij元素。再参照式（11）根据该文字表述可直接写出相应计算元素c″i+1，i+1～u″i+1，n、c″p，i+1～u″pn、c″n，i+1～u″nn该步的计算结果。

上述计算结果表明用合成阵计算c、u元素时，每次与计算有关的四个元素均在矩形的四个角上，因此将其称为四角规则。四角规则的计算结果与式（1）～（2）完全相同，因此根据CU合成阵可无需式（1）～（2）而直接用四角规则以类似“逐行规格化，按列消元”的方式计算CU合成阵的所有元素。这种计算方式使CU分解过程极为简单直观，特别利于程序编写。

式（11）计算过程表明，由于未利用c、u元素的比例对称关系uik=cki／cii分步计算c、u元素，因此必须计算所有c、u元素。这与式（1）～（2）的计算过程几乎完全相同，只是将式（1）～（2）每次计算一个完整c或u元素变成分步计算，对计算速度提升影响不大。

3.2 对称CU分解法中应用四角规则

考虑矩阵对称性进行对称CU分解的CU合成阵简化矩阵如式（12），与式（11）相比，所有下三角元素ai+1，i、api～ap，p-1、ani～an，n-1等均未进行任何计算，仍为A阵值。式（12）的计算过程可分为二步：

（1）将第i行元素u′i，i+1、u′ip、u′in对应赋值给第i列的ai+1，i、api、ani得消元元素ci+1，i、cpi、cni；将对角元素cii取倒；分别乘以u′i，i+1、u′ip、u′in得ui，i+1、uip、uin；对第i列ci+1，i、cpi、cni消元，仅计算消元元素所在行的对角元素和上三角元素c″i+1，i+1～u″i+1，n、c″pp～u″pn、c″nn等，此时所计算的元素远比式（11）中少。计算完成后，除c″i+1，i+1=ci+1，i+1为终值外，其余元素仍然均为未完成计算的中间值，而所有的下三角元素ap，i+1～an，i+1、anp等仍为A阵值。

（2）将第i+1行元素u″i+1，p、u″i+1，n对应赋值给第i+1列ap，i+1、an，i+1得cp，i+1、cn，i+1；将ci+1，i+1取倒；分别乘以u″i+1，p、u″i+1，n得ui+1，p、ui+1，n。然后对第i+1列的cp，i+1、cn，i+1消元，并依此循环。

式（12）计算过程表明，如果利用c、u元素比例对称关系uik=cki／cii分步计算c、u元素，则只须计算相应行的对角元素ckk和上三角ukp元素，所有下三角元素cpk是逐列根据未乘以对角元倒数的上三角ukp元素对应赋值得到。因此对称CU分解法可省略所有下三角元素计算，可大大提高计算速度。

文章来源：《电力系统自动化》网址: http://www.dlxtzdhzz.cn/qikandaodu/2021/0419/882.html