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快速求取节点阻抗矩阵的对称三角分解法(3)
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摘要：例1以三阶Z阵元素计算过程为例，说明Z阵元素的对称性求取及省去求取Wk阵的计算技巧。 (1)按(k=n,n-1,…，2,1)顺序求解Zk阵，可先根据L33W3=E3求W3阵；利用E阵
例1以三阶Z阵元素计算过程为例，说明Z阵元素的对称性求取及省去求取Wk阵的计算技巧。
(1)按(k=n,n-1,…，2,1)顺序求解Zk阵，可先根据L33W3=E3求W3阵；利用E阵元素结构特点，得W3=E3；再根据R33Z3=W3=E3求Z3阵z33、z23、z13；然后根据对称性得z32、z31。计算过程如下。
W3=E3
(2)由于Z2阵对角元以下的z32已得，因此用R33Z2=W2求Z2阵时不用求z32，可将其用*替代。因此用L33W2=E2求W2阵时，W2阵对角元以下的w32也无需计算，同样可用*替代。也就是说，如果对W2和Z2阵均求对角元及以上的元素，则此时的阵与阵对角元及以上元素完全相同，即有从而可得成立。因此可省去对方程L33W2=E2的求解，直接用求Z2阵对角元z22及以上元素z12，再根据对称性求z21元素。计算过程如下。
(3)用L33W1=E1求W1阵，同样可得因此也可省去对方程L33W1=E1的求解，直接用求Z1阵对角元z11。其过程如下。
由于采用“Zk阵求取顺序按从第n～1列、Zk阵元素求取顺序从Zkk～Z1k，并考虑Ek阵元素结构的特点”，因此求解RZk=Wk方程时不需要求解Wk阵对角元以下的元素，而在求解LWk=Ek方程时，也仅需求解Wk阵对角元及其以上的元素，从而可省去对方程LWk=Ek的求解，使得对方程RZk=Wk的求解可直接转化成对方程RZk=Ek中对角元及其以上的元素的求解。
4算例分析
在Intel i7-4790 3.6 GHz平台上，基于VC++6.0实现算法编程，分别对IEEE-30～300节点系统的Y阵求取Z阵。由于传统的LDU法和LR法的前代计算效率太低，因此前代计算中采用计算效率较高的改进LDU法[12](方法1)和改进LR法[13](方法2)，以及对称LR法1(方法3，对角元未取倒)和对称LR法2(方法4，对角元取倒)。改进LDU法和改进LR法的回代计算按(k=1,2,…,n)顺序分别求解n个LWk=Ek和RZk=Wk方程，未利用Z阵元素的对称性，需计算Wk阵的全部元素；而对称LR法的回代计算，则利用了Z阵元素的对称性，并省去了Wk阵的求解。
表1给出了各种方法“前代”及“前代+回代”过程的平均迭代时间，其中t1、t2、t3、t4分别表示方法1、2、3、4的“前代”过程时间；t11、t21、t31(t41≈t31)分别表示方法1、2、3的“前代+回代”过程时间。
表1 “前代”及“前代+回代”过程平均迭代时间比较节点类型前代过程前代+回代过程t1/st2/st3/st4/st3/t1(%)t3/t2(%)t4/t3(%)t11/st21/st31/st31/t11(%)t31/t21(%) 4310.000 5130.000 2780.000 . 0650.002 1460.000 . 8810.003 5490.001 8460.001 . 8690.014 5420.005 . 2540.032 5490.016 3470.015 . 8370.123 6900.048 6230.556 1480.256 4150.248 . 5142.069 7800.755 .7236.51
根据表1可看出，无论在“前代”或“前代+回代”过程中，对称LR法的计算速度远远快于传统LDU法或LR法以及改进LDU法或LR法。以IEEE-300节点系统为例，对称LR法的前代过程比改进LDU法快约35%，比改进LR法快约55%；而对称LR法的“前代+回代”过程比改进LDU法快约60%，比改进LR法快约64%。且无论在“前代”或“前代+回代”过程中，该优势随着系统规模的增加而更加明显。此外还可看出，在前代过程的对称LR法中，对角元取倒比不取倒计算速度可提高约3%，但对整个计算过程的影响不大。
5结论
针对传统LR三角分解法中A、L、R阵数组分开存放、计算过程难以理解，计算公式繁琐复杂、元素之间的关系未能用于简化计算、编程困难等问题提出了对称LR法，包括合成阵、四角规则、对角元素取倒、LR法中下三角元素的对称算法，大大加快前代计算过程，计算效率远远高于传统LDU法或LR法以及改进LDU法或LR法。同时提出根据LR法求解Z阵的方法，并针对LR法计算过程的特点，利用Z阵元素的对称性省去LR法求取Z阵时中间矩阵的计算，大大加快回代计算过程。
对IEEE-30～300节点系统的计算结果表明对称LR法以及用对称LR法求解Z阵的优势，为各种三角分解法在电力系统分析计算中应用提供了良好的理论依据。
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文章来源：《电力系统自动化》 网址: http://www.dlxtzdhzz.cn/qikandaodu/2021/0419/884.html