快速求取节点阻抗矩阵的对称三角分解法(2) -电力系统自动化杂志社投稿

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快速求取节点阻抗矩阵的对称三角分解法(2)

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2.2四角规则

由于在合成阵中可以按列消元方式分步计算相应的L、R阵元素，因此所有的后续计算都是以前面的计算结果为基础。参加计算的有关元素在LR合成阵中的位置如图1所示。

图1相关元素在合成阵中的位置

定义图1中各变量如下：

rii：对角元素；

rij、rik、rip：交叉元素，rii同行以右；

lki：消元元素，rii同列以下；

计算元素的前值(新值)，lki所在行以与rij、rik、rip所在列的交叉点。

上述元素中，除对角元素、交叉元素、消元元素已分步完成计算外，所有计算元素前值均未完成计算，而其新值也不一定完成了计算。以按列消元方式分步计算相应l、r元素，根据图1可分别得到

对左侧的l元素完成消元，则将除以其所在列的对角元素rjj可得到lkj；但对元素左侧的l元素完成消元，则直接可得

对图1中LR合成阵元素的计算过程中，参与计算的元素均在矩形的4个角上，因此称其为四角规则。且由于无需使用式(2)～(3)，也无需考虑相应元素i,j，k的取值范围、上下标等，只需利用计算过程中相关元素的位置就可完成计算，所以四角规则特别有利于计算过程的理解和编程。

2.3对称LR三角分解法

如果以常规按列消元方式分步计算得到了图2中第i行对角元素rii同行以右的ri,i+1、rip、rin元素，并通过赋值得到了第i列对角元素以下的li+1,i、lpi、lni元素，然后对第i列对角元素以下的l元素消元，继续分步计算第i行r元素以下和第i列l元素以右所有的l′、r′元素。此时除第i+1行的r′元素完成了计算以外，其余所有的l′、r′元素均未完成计算，各元素在LR合成阵中的位置如图2。

图2LR合成阵中元素的常规计算

根据图2可看出，按照常规的按列消元方式分步计算l′、r′元素时，由于未利用l、r元素的比例对称关系，则必须计算所有的l′、r′元素。

如果利用l、r元素的比例对称关系，则只需计算第i行r元素以下和第i列l元素以右所有的r′元素，所有的l′元素均无需计算，只是在对第i列对角元素以下的l元素消元前，先将第i行对角元素以右的r元素除以其所在行的对角元素后直接赋值给第i列对角元素以下的l元素，而l元素在赋值前仍然是A阵中的a元素；然后再对第i列对角元素以下的l元素消元；计算完所有的r′元素后，再将第i+1行对角元素以右的r′元素除以其所在行的对角元素后直接赋值给第i+1列对角元素以下的l元素，然后再对这些l元素进行消元，并依此循环。如图3中对li+1,i、lpi、lni等元素消元时，其右侧的所有r′元素将被多次计算、但ap,i+1、an,i+1、anp等元素仍是原A阵中从未被计算过的下三角元素。只是在对li+1,i、lpi、lni等元素消元完成后，再将第i+1行对角元素以右的等元素除以其所在行的对角元素后直接赋值给第i+1列对角元素以下对应的a元素，得到第i+1列对角元素以下对应的l元素，再对第i+1列的l元素消元。

因此，在图3中，对li+1,i元素消元，相应的等元素则直接变成ri+1,i+1、ri+1,p、ri+1,n等元素；对lpi、lni等元素消元，只需计算其右侧的r元素(对角元和上三角)，而无需计算其右侧的ap,i+1、an,i+1、anp(下三角元素)；在计算完li+1,i、lpi、lni等元素以右所有的r元素后，将ri+1,p、ri+1,n元素除以其所在行的对角元素ri+1,i+1，即利用rij/rii=lji关系，就可得到ri+1,i+1所在列以下所有对应的lp,i+1、ln,i+1等元素。由于对角元rii在计算过程中均以除数出现，如在计算过程中先将对角元取倒数，将等式rij/rii=lji变换成rij(1/rii)=lji，还可减少三角分解过程的时间。上述方法可称为对称LR法。

对称LR法可大大简化L阵元素的计算，从而可大大提高其三角分解速度。

3快速回代求取Z阵

传统LR法求解AX=B方程时，是将其变换成LRX=B，再分别求解LW=B和UX=W方程。因此求取Z阵时，可将YZ=E方程变换成LRZ=E，再分别求解LW=E和RZ=W方程，需求取整个W阵的所有元素。而用传统LDU法求解Z阵时，是将YZ=E变换成n个YZk=Ek(k=1,2,…,n)[2]分别进行求解，因此对应地也需分别按(k=1,2,…,n)顺序分别求解n个LWk=Ek和RZk=Wk方程。但这种求解方式由于没有综合考虑Zk阵的求解顺序和Zk阵元素的求解顺序及技巧以及E阵元素结构的特点，因此很难利用Z阵元素的对称性进行求解，更不能省去对Wk阵的求取，因而计算效率低下。

为克服上述不足，本文提出①按(k=n,n-1,…，2,1)的顺序求解Zk阵；②对Zk阵元素仅求取其对角元Zkk及以上元素；③利用Ek阵元素结构的特点，计算Z阵对角元以下元素，并省去Wk阵的求取，从而大大提高回代过程的计算效率。

文章来源：《电力系统自动化》网址: http://www.dlxtzdhzz.cn/qikandaodu/2021/0419/884.html